ગણિતના જાદુપ્રયોગો – ઈન્દ્રજિત એચ. ડૉક્ટર

[બાળકો-કિશોરોને ઉપયોગી થાય, જ્ઞાન સાથે ગમ્મત આપે અને સમયનો સદુપયોગ થાય તેવા સુંદર જાદુપ્રયોગો અને ગણિત ગમ્મતના પુસ્તક ‘ગણિતના જાદુપ્રયોગો’માંથી સાભાર. પુસ્તક પ્રાપ્તિની વિગત લેખના અંતે આપવામાં આવી છે.]

[1] જાદુપ્રયોગ : તમે કોઈ પણ સંખ્યા ધારો પણ જવાબ તો 7 જ !

Picture 071જાદુગર પ્રેક્ષકો સમક્ષ આવે છે અને ફલક પર મોટા અક્ષરે 7 લખે છે. બોર્ડ નહીં હોય તો મોટા કોરા કાગળ પર લખી શકાય. જાદુગર કહે છે, ‘દોસ્તો, તમે કોઈ પણ સંખ્યા ધારો ને પણ, મેં કહેલાં પગથિયાં અનુસરો તો છેવટે જવાબ 7 જ આવશે. તમારા મનમાં કોઈ પણ સંખ્યા ધારી લો. અને નીચેના પગથિયાં અનુસરો. આવો, શરૂઆત કરીએ.’

પગથિયાં :
[1] કોઈ પણ સંખ્યા ધારો.
[2] તે સંખ્યાને બમણી કરો.
[3] પરિણામમાં 17 ઉમેરો
[4] પરિણામમાંથી 3 બાદ કરો.
[5] પરિણામને 2 વડે ભાગો.
[6] પરિણામમાંથી ધારેલી સંખ્યા બાદ કરો.
[7] શું પરિણામ આવ્યું ? સાત જ ને ?

ઉદાહરણ:
ધારો કે સંખ્યા 23 ધારી છે. તેને બમણી કરતાં 46 થશે. તેમાં 17 ઉમેરતાં થશે 63. હવે પરિણામમાંથી 3 બાદ કરતાં 60 બનશે. તેને બે વડે ભાગતાં 30 થશે અને તેમાંથી ધારેલી સંખ્યા એટલે કે 23 બાદ કરતાં 7 જ વધશે ! આનું રહસ્ય શું ? ચાલો, એ જોઈએ. ધારો કે આપણે x સંખ્યા ધારી છે અને હવે ઉપરના પગથિયાં અનુસરીએ છીએ. તો પરિણામ કંઈક આ પ્રમાણે થશે.

ધારેલી સંખ્યા : x
2 X x = 2x
2x+17
2x+17 – 3 = 2x + 14
(2x+14) / 2 = x + 7
x + 7 – x = 7

[2] રૂપિયા-પૈસાનો અનોખો પ્રયોગ

જાદુગર ઓડિયન્સને કહે છે : ‘આજે આપણે રૂપિયા-પૈસાનો જાદુ કરીએ. જાદુમાં આપણામાંથી 4-5 પ્રેક્ષકમિત્રો ભાગ લે તો સારું.’ ભાગ લેવા તત્પર હોય તે દરેકને જાદુગર એક-એક કાગળ ગણતરી કરવા આપે છે. જાદુગર પોતાની પાસેના એક કાગળ પર કંઈ લખીને બધાની સમક્ષ ટેબલ પર મૂકે છે. ભાગ લેનાર દરેક પ્રેક્ષકને રૂ. 100 કરતાં નાની રકમ ધારવાનું કહે છે. શરત એટલી કે પ્રેક્ષક રૂપિયા અને પૈસા ધારે તો રૂપિયાની સંખ્યા પૈસાની સંખ્યા કરતાં વધારે હોય તેમ ધારવાનું. દરેક પ્રેક્ષકને જાદુગરથી છૂપી રીતે આ રકમ ધારીને પોતાના કાગળ પર લખી દેવા જાદુગર સૂચના આપે છે. હવે પ્રેક્ષકોએ જે પગથિયાં અનુસરવાનાં છે તે નીચે જણાવ્યાં છે. પ્રેક્ષકોને યોગ્ય માર્ગદર્શન મળી રહે તે માટે જાદુગર નમૂનારૂપ પોતાનું ઉદાહરણ લઈ ગણતરી બતાવે છે. પ્રેક્ષક પૂરેપૂરી વિગત લખી તેની સામે યોગ્ય ગણતરી બતાવતા જાય એવી સૂચના જાદુગર આપે છે.

પગથિયાં :

[1] જાદુગરે ધારેલી રકમ રૂ. 56.40 છે. પ્રેક્ષકો પણ પોતે ધારેલી રકમ લખે છે.
[2] ધારેલ રકમમાં જેટલા રૂપિયા છે તેટલા પૈસા ગણો અને જેટલા પૈસા છે તેટલા રૂપિયા ગણો. રૂપિયા-પૈસાને ઊલટ-સૂલટ કરો અને રકમ લખો. એટલે થશે : રૂ. 40.56
[3] ધારેલી રકમનાંથી ઊલટ-સૂલટ કરીને મેળવેલી રકમ બાદ કરો : એટલે કે (રૂ. 56.40 – રૂ. 40.56) = રૂ. 15.84
[4] ઉપરના પરિણામમાં મળેલી રકમ રૂ. 15.84ને પણ ઊલટ-સૂલટ કરીને નવી રકમ મેળવો અને તે લખો : રૂ. 84.15
[5] પરિણામ (3) અને પરિણામ (4) નો સરવાળો કરો. એટલે કે : (રૂ. 15.84 + રૂ. 84.15) = રૂ. 99.99
[6] શું પરિણામ આવ્યું ? જાદુગરનું રૂ. 99.99 અને બધા પ્રેક્ષકોનું પણ રૂ. 99.99

નોંધ : ધારવાની રકમમાં પૈસાની સંખ્યા કરતાં રૂપિયાની સંખ્યા વધુ ધારવાનું કહ્યું છે તેનું કારણ સમજાયું ? વિચારો. બીજી એક વાત ધ્યાનમાં રાખવાનું જરૂરી છે. ધારેલી રકમમાં રૂપિયા અને પૈસાની સંખ્યા સરખી ન હોય તે જોવું જરૂરી છે.

[3] 1 થી 9 સુધીની કોઈ બે સંખ્યા ધારો. અને હું તે કહી આપીશ.

જાદુગર કહે છે એક સંખ્યા ધારી હોય અને તે કહેવાની હોય તો તો સરળતાથી શોધી શકાય. પણ 1 થી 9 સુધીની બે સંખ્યા ધારેલી હોય અને શોધવાની હોય એ જરા કપરું, ખરું ને ? પણ જાદુગર માટે કોઈ વસ્તુ અઘરી નથી હોતી. તમે 1 થી 9 સુધીની બે સંખ્યા ધારો અને હું કહું તેમ કરો. અને હું તમને તમારી ધારેલી સંખ્યાઓ કહી આપીશ. આપેલાં પગથિયાં સમજવાનાં સરળ પડે તે માટે હું બે સંખ્યા ધારીને ઉદાહરણ રજૂ કરું છું. તમે સંખ્યા ધારો તો કાગળ લો અને તેમાં એ જ પ્રમાણે પગથિયાં માંડો. ઉદાહરણ તરીકે મારી ધારેલી સંખ્યા 3 અને 7 છે.

પગથિયાં :

[1] કોઈ પણ ધારેલી બે સંખ્યામાંથી પ્રથમ સંખ્યાના બમણા કરો. (3 X 2 = 6 )
[2] પરિણામમાં 5 ઉમેરો. (6 + 5 = 11)
[3] પરિણામ (2)ને 5 વડે ગુણો. (11 X 5 = 55 )
[4] પરિણામ (3)માં બીજી સંખ્યા ઉમેરો. (55+7=62)
[5] આવેલા પરિણામ (4)માંથી 25 બાદ કરો. (62-25 = 37)
[6] આવેલા પરિણામ (5)માં 10 ઉમેરો. (37+10=47)
[7] શું જવાબ આવ્યો ? 47. તો ધારેલી સંખ્યા : 3, 7 છે.

નોંધ : જાદુગર આવેલા પરિણામમાંથી 10 બાદ કરે છે અને જે સંખ્યા મળે છે તેના અંકો જ ધારેલી સંખ્યા છે. દા.ત, જાદુગરે મેળવેલું પરિણામ 47 છે. તેમાંથી 10 બાદ કરતાં 47-10 = 37 આવે છે તેથી ધારેલી પ્રથમ સંખ્યા 3 અને બીજી સંખ્યા 7 છે. આમ તો ઉત્તર (5)મા પગથિયે જ આવી જાય છે. (6) અને (7) પગથિયાં તો જાદુગર પોતાની અગત્યતા વધારવા માટે કસરત કરાવે છે ! આ પગથિયાં દ્વારા પ્રથમ સંખ્યાને દશકના સ્થાનમાં ગોઠવીએ છીએ અને બીજી સંખ્યાને એકમના સ્થાનમાં, ખરું ને ? આવું કેમ થાય છે એનું રહસ્ય શોધો. સંખ્યા માટે x અને y ધારીને આગળ વધો.

[4] ગણતરીબાજ સુકેતુ

રાજાનો દરબાર ભરાયો છે. તેમાં સુકેતુ નામનો વિદ્વાન અને બુદ્ધિમાન નાગરિક હાજર હતો. રાજાએ સુકેતુને કહ્યું : ‘કંઈ એવી વાત કરો કે બધાને અને ખાસ કરીને મને આશ્ચર્ય થાય.’ સુકેતુએ કહ્યું : ‘રાજન, દેખીતી રીતે સરળ અને લાભદાયી લાગતી રમત પાછળથી મોંઘી પડે છે. આજે તમારી સંમતિ હોય તો એવી એક રમત શરૂ કરીએ.
‘સારું, કહો શું છે એ રમત ?’ રાજાએ કહ્યું.
‘જુઓ રાજન, તમને હું રોજ 1001 રૂપિયા આપીશ, તમારે મને પહેલે દિવસે 1 રૂપિયો આપવાનો. બીજે દિવસે તેના બમણા એટલે કે બે, અને ત્રીજે દિવસે તેના બમણા એટલે કે ચાર…. એમ એક માસ સુધી જ આપણે આપ-લે કરીશું. એક માસથી વધુ શરત ચાલે તો કદાચ આપે રાજપાટ છોડવાનો વારો આવશે !’ રાજા આશ્ચર્ય પામ્યા અને ખુશ પણ થઈ ગયા. રોજ 1001 રૂપિયા મળે, ને આપવાના તો 1,2,4,8 વગેરે જ !
‘મંજૂર છે.’ રાજાએ કહ્યું, ‘આજથી જ શરૂ.’

સુકેતુએ તરત જ રૂ. 1001 આપી દીધા. રાજાએ તરત જ તેમાંથી રૂપિયો કાઢી આપી દીધો. ‘ખરો, મૂરખ લાગે છે. આપણે શું ?’ રાજાએ મનમાં ને મનમાં વિચાર્યું. આ જ રીતે બીજે દિવસે પણ સુકેતુએ આપેલ રૂ. 1001માંથી બે રૂપિયા કાઢી ગણી આપ્યા. આમ-ત્રણ, ચાર, પાંચ, છ, સાત દિવસો ચાલ્યા જ કર્યું. રાજા તો ખુશખુશાલ રહે અને સુકેતુ પણ ખુશ રહે. તેને જોઈને રાજા આશ્ચર્ય અનુભવે. પછી આવ્યો 11મો દિવસ અને રાજાને જરા ખૂંચ્યું. તે દિવસે તેમણે રૂ. 1001 લેવાના હતા અને 1024 આપવાના હતા. પણ તેમણે તો વિચાર્યું કે, ‘મને તો અગિયાર દિવસના રૂ. 11011 મળ્યા છે ને ! કંઈ વાંધો નહિ.’

પણ હવે રાજાની પનોતી બેસી ચૂકી હતી. ગણતરી આ પ્રમાણે ચાલતી હતી.
12મે દિવસે રૂ. 2048
13મે દિવસે રૂ. 4096
14મે દિવસે રૂ. 8192
15મે દિવસે રૂ. 16,384
16મે દિવસે રૂ. 32,768
17મે દિવસે રૂ. 65,536
18મે દિવસે રૂ. 1,31,072
19મે દિવસે રૂ. 2,62,144
20મે દિવસે રૂ. 5,24,288 વગેરે…

ત્રીસ દિવસ સુધી રાજા થોભ્યા નહિ અને 20મે દિવસે જ સુકેતુને દરબારમાં બોલાવી સન્માન કર્યું. આવા ગણતરીબાજ ગણિતશાસ્ત્રી એ રાજ્યની શોભા છે એમ કહી પોતાના દરબારનાં નવરત્નોમાં તેને સ્થાન આપ્યું. અને તેના બધા જ રૂપિયા પરત કર્યા, એટલું જ નહિ પણ વચન પ્રમાણે એક માસ સુધી રકમ આપવાની થઈ તે પણ આપી. જોયું, વાસ્તવિક ગણતરીએ કેવું જાદુ કર્યું ? એ તદ્દન મામૂલી લાગતી રકમ ટૂંકા ગાળામાં કેટલી ભવ્ય બની શકે છે ! ગણિતનો જ જાદુ કહીશું કે બીજું કંઈ ?!

[5] એક મજાની રમત

એક મજાની રમત છે. તમે તમારા મિત્ર સાથે એવી શરત મારો કે તમે તેને પાંચ સવાલ પૂછશો અને તે બધાના ખોટા જ જવાબ આપવાના. એક પણ સવાલનો જવાબ સાચો આપ્યો તો રૂ. 10 હારી જાય અને નહિ તો રૂ. 10 તમારે તેને આપવાના.
‘આ તો તદ્દન સહેલું છે. આવી જા, પૂછવા માંડ સવાલ !’ તમારો મિત્ર કહેશે.

તમે પહેલો સવાલ પૂછો છો : ‘નેપોલિયનનો જન્મ કઈ સાલમાં થયો હતો ?’
‘1985માં’ મિત્ર જાણીજોઈને ખોટો જવાબ આપશે. તમે તરત બીજો સવાલ પૂછો.
‘પાંચમાં સાત ઉમેરતાં શું જવાબ આવે ?’
‘ચાર સો પાંત્રીસ.’ તમારો મિત્ર જવાબ આપે છે.
ત્રીજો સવાલ : ‘મુંબઈ ક્યા દેશમાં આવ્યું ?’
‘ઈંગ્લેન્ડમાં !’ જવાબ મળે છે.
પછી જરા વિચાર કરતા હો તેમ તમે કહો છો : ‘હં, આપણે તો પાંચ સવાલની શરત છે. કેટલા સવાલ થયા ?’
‘ત્રણ સવાલ પૂરા થયા.’ પેલો મિત્ર સ્વાભાવિકપણે બોલી દેશે.
‘કેમ મારા ચોથા સવાલનો જવાબ સાચો આપી બેઠા ને !? લાવો દસ રૂપિયા !’

તમારો મિત્ર આશ્ચર્ય પામશે. તે તમને તમારી ચાલાકી અને ચપળતા બદલ જરૂર શાબાશી આપશે !

[6] કોયડા ઉકેલો

[અ] પ્રિતેશ એક દુકાનમાંથી એક શર્ટ અને એક ટાઈ ખરીદે છે. શર્ટની કિંમત ટાઈ કરતાં રૂ. 100 જેટલી વધુ છે. પ્રિતેશ આ બન્નેનું ભેગું બિલ રૂ. 150 ચૂકવે છે. દરેકની કિંમત શોધો.

[બ] એક ડબ્બામાં લોટ છે. ડબ્બા સાથે લોટનું વજન 19 કિલોગ્રામ છે. તેમાંથી ત્રીજા ભાગનો લોટ કાઢી લેતાં બાકીના લોટ અને ડબ્બાનું વજન 14 કિલોગ્રામ થાય છે. તો તે ડબ્બામાં કેટલો લોટ માતો હશે ? ડબ્બાનું વજન કેટલું થાય ?

[કુલ પાન : 120 કિંમત રૂ. 65. પ્રાપ્તિસ્થાન : પ્રાપ્તિસ્થાન : ગુર્જર ગ્રંથરત્ન કાર્યાલય, રતનપોળનાકા સામે, ગાંધીમાર્ગ, અમદાવાદ-380001. ફોન : +91 79 22144663.]

Print This Article Print This Article ·  Save this article As PDF

  « Previous વૃંદાવન મોરલી વાગે છે ! – સતીશ ડણાક
સંતની મંગલવાણી – સં. હરિશ્ચંદ્ર Next »   

26 પ્રતિભાવો : ગણિતના જાદુપ્રયોગો – ઈન્દ્રજિત એચ. ડૉક્ટર

  1. જય પટેલ says:

    ધારો કે….ધારીને….ધારેલી…ધારવાની…..!!!!

    ગણિતજ્ઞોને મઝા પડશે.

  2. Soham says:

    ૬.
    અ શર્ટ ની કિંમત ૧૨૫ અને ટાઇ ની કિંમત ૨૫.

    બ. લોટ ૧૫ કીલો અને ડબ્બા નું વજન ૪ કીલો.

    મજા આવી ગઈ…

  3. Sarika Patel says:

    ખુબજ રમુજિ.

  4. Vipul Panchal says:

    મજા આવી ગઈ………

  5. nayan panchal says:

    સરસ લેખ.

    કોયડાનો જવાબ ઉપર મુજબ.

    નયન

  6. ગણિતના પ્રયોગો માણવાની મજા પડી.

    જવાબ માટે જુઓ કોમેન્ટ નંબર – ૨

  7. Malay Bhatt says:

    The legend says Ramanujam found a method to prove 3 = 2 it but never disclosed it during his life time and that it has been found from his diary.

    See this illustration:

    -6 = -6

    9-15 = 4-10

    adding 25/4 to both sides:

    9-15+(25/4) = 4-10+(25/4 )

    Changing the order

    9+(25/4)-15 = 4+(25/4)-10

    (3-5/2)^2 = (2-5/2)^2

    [ this is just like : a^2 + b^2 – 2ab = (a-b)^2
    Here a=3, b=5/2 in left side and a =2, b=5/2 for right side ]

    (3-5/2)(3-5/ 2) = (2-5/2)(2-5/ 2)

    Taking square root on both sides:

    3 – 5/2 = 2 – 5/2

    3 = 2

    See any flaw?

    • nayan panchal says:

      yes, it has a flaw.

      The right expression will be :

      if (a-b)^2 = (c-b)^2
      then (a-b) = +/-(c-b)

      If you take the + sign then only 2 = 3 otherwise not.

      but you have to consider – sign as well.

      In that case, 3-5/2= – (2-5/2)
      0.5=0.5

      Now, you know which one is valid.

      Great Ramanujam is of course not that dumb to write something like this. This is just a myth.

      my 2 cents,
      nayan

      For more detailed calculation see follows:

      Let us take a = 3, b= 2, c = 5/2

      The expression with square ( in the whole sqaure form ) is –

      (3-5/2)(3-5/2) = (2-5/2)(2-5/2)

      This reduces to (a -c ) square = (b -c) square ……. (1)

      The falacy is – if you accept ( 3 – 2 ) equals a non-zero value then this Ramanujam statement does not stand as follows –

      (a-c) square – (b-c) square = 0 [ From (1) ]

      or ( (a-c) + (b-c) ) * ( (a-c) – (b-c) ) = 0

      or ( a-2c + b) * (a -b) = 0 ……(2)

      Now the falacy comes –

      For this equation to be satisfied
      either (a-2c+b) has to be equal to zero
      or (a-b) has to be equal to zero
      or both the factors have to be equal to zero

      Here if we put value of a,b,c we get –

      (3 -2*5/2 + 2) * (3-2) = 0 [ From 2 ]

      The first factor is already becoming equal to zero so the whole expression is becoming zero and there is no need that second factor to be zero.

      So ( 3-2 ) not equal to zero So 3 not equal to 2

      If we take ( 3 – 2 ) = 0 then there will be no difference between the numbers 3 and 2. Because as a result of subtraction zero is produced only when we subtract the number from itself.

      SO 3 CAN NEVER BE EQUAL TO 2. IT IS ACTUALLY A FALACY AND NOT A FACT.

    • Navin N Modi says:

      The flaw is in giving different values to ‘a’ in left & right sides. If a=3 on left side than ‘a’ can not be equal to any other digit any where.

    • Krish says:

      9-15+(25/4) = 4-10+(25/4 )
      ?
      આ કૈ રિતે પોસ્સિબલ છે?

    • Krunal Choksi (NC, USA) says:

      Changing the order

      9+(25/4)-15 = 4+(25/4)-10

      (3-5/2)^2 = (2-5/2)^2

      is the flaw….. because (a-b)^2 = a^2 – 2ab +B^2 so according to it, the eq. shd be 9-(25/4)+15 = 4-(25/4)+10. 🙂

      Check that out…..

      • Dhiren Shah says:

        To Krunal Choksi:

        (3-5/2)^2 = (2-5/2)^2

        =>

        3^2 -2x3x5/2+(5/2)^2 = 2^2-2x2x5/2+(5/2)^2

        => 9-15+(25/4) = 4-10+(25/4)

        which is 9+(25/4)-15 = 4+(25/4)-10.

        It’s alright.

  8. Veena Dave, USA says:

    મઝા આવી.

  9. sakhi says:

    સરસ લેખ.મજા આવી ગઈ

  10. Vraj Dave says:

    સરસ ? મજા આવી ગઇ ?

  11. bindi says:

    ખુબ જ મઝા આવી ગઈ.

  12. ગ્યાનવર્ધક કસરત

  13. Nehal says:

    બહુ સરસ…….મજા આવિ…..વધારે મુકો……

  14. Chirag Patel says:

    Here is another Math Trick…. Reall cool one….

    Think of a number…. Doesn’t matter which number…. Doesn’t matter whole number (IE: 1, 2 , 50 , 99 , 1000 etc) or fractions (IE: 1/2, 3/8 etc.) – doesn’t matter how big the nubmer is – Just think of it…

    Lets say – I think 5 as my number

    Add same number into original number – 5 + 5 = 10
    Now -Add 10 in the total result – 10 + 10 = 20
    Divide the result by two – 20 / 2 = 10
    Subtract the Original Number – 10 – 5 = 5

    No matter what number is being guessed, the end result is half of the number you ask the person to add into the first numbrs total – so if I had asked to add 20 my end result would have been 10 – if I had asked to add 15 – my end result would have been 7.5 or 7/2 – Try it… It works!!!!!

    Here is another one with rule of 5
    If you were to multiple or get a squre of 15, 25, 35 etc upto 95 the fastest way to do is…
    IE: 15^2 = 225
    (15 * 15)
    So you get 25 multiplaing two last 5 and add 1 to the first number and multiply that with the second one
    SO – (25)^2 = 25 x 25 = (5 x 5 = 25 and 3 x 2 = 6) so result is 625 – It only works if two numbers are same and they have to be two digit only!!!!

    Thank you,
    Chirag Patel

  15. Regarding 2nd example in the article, I found one mathematical property. Can anyone explain that in detail ?

    For example : number is X.Y that is X + 0.01 * Y
    Now remove Y.X from that number.

    X + 0.01 * Y

    Y + 0.01 * X
    ——————–
    0.99 * X – 0.99 * Y = 0.99 (X – Y)

    Since X and Y are integers, X-Y is also integer (very important).

    Now here is the math property. The result of any number multiplied by 0.99 will always be in the format of A.B where A + B = 99

    check for example, 48 * 0.99 = 47.52 , 99 * 0.99 = 98.01 etc..

    If someone can prove this property, it would be great.

  16. anil lalcheta says:

    બહુ દેીવ્સે આ વેબ્સા ઇત યાદ આવિ મજ્જ્જ્જ્જ્જ્જા આવેી ગૈ

  17. સારી માથાકુટ ગોઇતી હો ભાઇ…

  18. Madhavi Rajput says:

    the calculation was really very intresting. After such a long time i really run my mind. If any body knows any site related to such problems then please mail me.It was really intersting.Hope i will soon see some more puzzles.

  19. dharmesh makwana says:

    4 X your birth date
    + 13
    X 25
    – 200
    + month u r born
    X 2
    – 40
    X 50
    + last 2 digit of year u born
    – 10500 = ??
    ( do it its, realy interesting )
    PLEASE CALCULATE…….

  20. ખુબ જ મઝા આવી ગઈ

નોંધ :

એક વર્ષ અગાઉ પ્રકાશિત થયેલા લેખો પર પ્રતિભાવ મૂકી શકાશે નહીં, જેની નોંધ લેવા વિનંતી.